\documentclass[article]{mathart}

\begin{document}

\title{《初等数论》勘误与建议}
\author{sc@hsu.edu.cn}

\maketitle

\textbf{P1}, 最后一段第一行，``$p$ 的正因子只有 $1$ 和 $p$, 则称 $p$ 为素数''应为``$p$ 的正因子只有 $1$ 和 $|p|$, 则称 $p$ 为素数''. 当时尚未用``素数''默认是正的这一习惯。

\textbf{P10}, 定理2中第二个独行公式中``$(m, n)[m, n]=m n$''应为``$(m, n)[m, n]=|m n|$'', 或假定$m,n$为正整数。

\textbf{P11}, 定理3的证明后第一段，``我们用 $v_{p}(n)$ 表示
  使 $p^{k} \mid n$ 的最大正整数 $k$''应为``我们用 $v_{p}(n)$ 表示
  使 $p^{k} \mid n$ 的最大非负整数 $k$''.

\textbf{P11}, 定理4 在\S8.1定理3的证明中用到了。讲课时可以忽略。

\textbf{P12}, 练习6中，应假定$a_i$为正整数。

\textbf{P26}, 倒数第二行那个独行公式中，这里尚不宜写$\sqrt{7}=[2,1,1,1,4,1,1,1,4,\cdots]$. 
目前尚不清楚这是何意。

\textbf{P27}, 最开始的地方，$d$的条件最好写为$d\in \ZZ$ (或$d\in \QQ$) 且$\sqrt{d}\notin \QQ$.

\textbf{P27}, 定理1(1), 表述最好写为：渐近分数 $\left[a_{0}, a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right]=\frac{p_{n}}{q_{n}}$, 其中$p_n,q_n$如下递归地定义:
\[
  \left\{\begin{array}{lll}
      p_{0}=a_{0}, & p_{1}=a_{0} a_{1}+1, & p_{n}=a_{n} p_{n-1}+p_{n-2}, \\
    q_{0}=1, & q_{1}=a_{1}, & q_{n}=a_{n} q_{n-1}+q_{n-2},
\end{array}\right.
(n\geqslant 2).
\]
这里有个分数表示的不唯一性的问题。按照上式递归地定义得到的$p_n, q_n$自动是互素的。

\textbf{P35}, 例3可直接应用定理1(7), 不必重复论证。

\textbf{P42}, 练习9中，对$2$和$6$, $k$应为正整数。

\textbf{P47}, 最上面的独行公式中，解漏掉了$x_0$. $d$个解为$x_0, x_0+m_1,\cdots, x_0+(d-1)m_1$.

\textbf{P50}, 练习1中，$(\ZZ/m\ZZ)^*$应为$\ZZ/m\ZZ$.

\textbf{P50}, 练习9中，$k$的取值为$0,1,\cdots,2^{n-2}-1$, 非$0,1,\cdots,2^{n-2}$.

\textbf{P56}, 评述前倒数第二段中``$m_i+m_j=R$'' 最好写为 ``$m_i+m_j=R$ ($i\neq j$)''.


\textbf{P60}, 第三段中，``$M_{n}(\mathbb{R})$ 是一个环 (不可交换)''最好写为``$M_{n}(\mathbb{R})$ 是一个环 (非交换，除非$n=1$)''. 最后一句，``$\GL_{n}(\mathbb{R})$, 即 $n$ 阶可逆方阵集，是一个不可交换群''
最好写为
``$\GL_{n}(\mathbb{R})$, 即 $n$ 阶可逆方阵集，是一个群 (非交换，除非$n=1$)。''
当然，如果你认为平凡的情形可以忽略 (通常我们不必为平凡的情形困扰)，那此问题也可忽略。

\textbf{P65}, 内直积可对一般的群定义，而不必是Abel群。可如下定义。
设 $H, K$ 为 群 $G$ 的子群，满足 (i) $H \cap K=\{1\}$, (ii) 对任意的$h\in H, k\in K$, $hk=kh$, 则
 \[
 H K=\{h k \mid h \in H, k \in K\}
 \]
 为$G$的子群，且$HK\cong  H \times K$.
此时， $H K$ 称为\emph{内直积} (也记为 $H \times_{\text {in }} K$ ). 
若还有$G=HK$，即子群$H, K$满足 (i) $H \cap K=\{1\}$且$G=HK$, (ii) 对任意的$h\in H, k\in K$, $hk=kh$, 则
称$G=HK$为\emph{内直积分解}。

\textbf{P71}, 系1(2)的条件有误，(2)中$g$应为模$p^k$原根。例如，$19$是模$43$原根，但$19$非模$2\times 43^2$原根。
$\overline{19}\in U_{43}$的阶和$\overline{19} \in U_{2\times 43^2}$的阶都是$42$.

\textbf{P72}, 定理1中，$k$的取值为$0,1,\cdots,2^{n-2}-1$, 非$0,1,\cdots,2^{n-2}$.

\textbf{P73}, 定理2中，``奇素数$p$ ($\neq 2$)'' 可写作 ``奇素数$p$''.

\textbf{P78}, 引理1(3) 描述所有原根何样，可放在原根的定义后讲。\S3.2的习题中已要求找到所有原根。

\textbf{P74}, 系1和后面找最小原根的方法也可接在原根的定义后讲。\S3.2的习题中已要求找到所有原根。另外，找最小原根的例子可以换个小点的数字 (如$23$)，便于在课堂上手算。


\textbf{P85}, 定理4中，条件``首项系数不被$p$整除''可去。

\textbf{P89}, 最上面一行中，``$f(n)=\prod_{d \mid n} f\left(\frac{n}{d}\right)^{\mu(d)}$''应为$f(n)=\prod_{d \mid n} g\left(\frac{n}{d}\right)^{\mu(d)}$``.

\textbf{P93}, 练习8中，``$e$为正整数''应为``$k$为正整数''.


\textbf{P95}, 定理1证明中，``由\S3.4引理1''应为``由\S3.5引理1''.

\textbf{P95}， 引理2证明中，``$p\nmid b$''可去 。``$p\nmid a$''放到(1)中。

\textbf{P97}, 练习1，``$p$为奇数''应为``$p$为奇素数''.

\textbf{P97}, 练习1，``$x=\pm1$'' 最好写为 ``$x\equiv \pm1$''. 

\textbf{P98}, 练习4, 应假设$(a,m)=1$.

\textbf{P98}, 练习8, 9中最好不要用中括号，而依然用括号。

\textbf{P99}, 定理2证明(2)中第二段，独行公式中，``$(p-1)/2\equiv 0, -1\left( \mod 2 \right)$'' 可写为``$(p-1)/2\equiv 0, 1\left( \mod 2 \right)$''.

\textbf{P99}, 定理2证明(2)的情形(ii)中，独行公式中，``$(p/q)=(q/p)=-1$''应为``$(p/q)=-(q/p)=-1$''.


\textbf{P100}, 例4的证明后第一段``同理可知\ldots''中，应假设$p\nmid d$.

\textbf{P100}, 例4的证明后第二段``由例1知\ldots''有误，奇素数$p$不可能有$p\equiv \pm 3\left( \mod 12 \right)$, 除非$p=3$, 此时$(3/p)=0$.
可改为：若奇素数$p\equiv \pm 5\left(\mod  12\right)$, 则$p$ 不能表为 $p=x^{2}-3 y^{2}$ (其中$x,y\in\ZZ$).
例如不可能有 $17=x^{2}-3 y^{2}$.
由此倒可知不可能有 $51=x^{2}-3 y^{2}$.

\textbf{P105}, 练习4中，``$a<0$''当去掉。可改为：若$p,q $为奇素数，$a$为不被$p$整除的正整数，$p\equiv \pm q\left( \mod 4a \right)$,
  则$\kronecker{a}{p}=\kronecker{a}{q}$.

\textbf{P105}, \S4.4, (I) 这段最后，``$x\equiv a^{\frac{p+1}{4}}$为同余式$x^2\equiv a\left( \mod p \right)$的解''最好写为``同余式 $x^{2} \equiv a\left(\mod  p\right)$ 的解为$x \equiv \pm a^{\frac{p+1}{4}}$.

\textbf{P106}, (II) 这段讨论中，$-1$的平方根换成$2^{\frac{p-1}{4}}$对手算也许更友好点。

\textbf{P111}, 系1中最好强调下可能需要交换下$a,b$的顺序才可把$a,b,c$表示成其中那样。

\textbf{P113}, 最后的``所以''有遗漏。当如下讨论。若$m,n$奇偶性不同，则$%\frac{m^{2}-n^{2}}{m^{2}+n^{2}},
\frac{2mn}{m^{2}+n^{2}}$为既约分数，此时得勾股数组
\[
(a, b, c)=\left(m^{2}-n^{2}, 2 m n, m^{2}+n^{2}\right)
\]
以及与其成比例的数组 ($m, n$ 取遍互素整数)。
若$m, n$都是奇数，则$m+n, m-n$都是偶数。
必有 (i) $m+n=2r, m-n=2^e s$或 (ii) $m+n=2^er, m-n=2s$, 其中$r,s$为奇数，$e>1$;
诚然，若$m+n, m-n$都能被$4$整除，则$m$是偶数，矛盾了。
令$u=\frac{m+n}{2}, v=\frac{m-n}{2}$, 则$m=u+v, n=u-v$, 
且$u$奇$v$偶  (情形 (i) 时) 或 $u$偶$v$奇 (情形 (ii) 时)；进而
\[
  x=\frac{m^{2}-n^{2}}{m^{2}+n^{2}}=\frac{2uv}{u^2+v^2},\quad
  y=\frac{2 m n}{m^{2}+n^{2}}=\frac{u^2-v^2}{u^2+v^2}.
\]
$m,n$互素且$u, v$奇偶性不同蕴含了$u,v$互素，进而有
$%\frac{u^{2}-v^{2}}{u^{2}+v^{2}}, 
\frac{2uv}{u^{2}+v^{2}}$为既约分数。
此时得勾股数组
\[
(a, b, c)=\left(2 uv, u^{2}-v^{2},  u^{2}+v^{2}\right)
\]
以及与其成比例的数组 ($u, v$ 取遍互素整数)。

\textbf{P128}, 定理1中最好在最开始强调下``正有理素数$p\in \ZZ$\ldots''。

\textbf{P210}, 命题1证明的倒数第三行，``若$n\geqslant 3$, 则$e^{n-1}>2^n$''不对，$n>3$时才有$e^{n-1}>2^n$. $x\leqslant e^{e^3}$的情形容易证明。

\textbf{P210}, 定理2中，$x$为正整数。

\textbf{P212}, 最上面，第二个独行公式，第二个等号是多余的。

\textbf{P220}, 定理6中，``$\log \zeta(s)=\prod_{p} \frac{1}{p^{s}}+r(s)$'' 应为 ``$\log \zeta(s)=\sum_{p} \frac{1}{p^{s}}+r(s)$''. 
``乘积''应为``求和''。

\textbf{P223}, 定理2(2)最后一行，``求和''应为``乘积''。

\textbf{P224}, 最上面的独行公式，``$f(p)$'' 应为 ``$a(p)$''.

\textbf{P226}, 练习6, ``$\sigma>0$'' 应为 ``$\sigma>1$''.

\textbf{P228}, ``(I)'' 开头这段，第三行开始的``(其中 $g$ 是原根， 见 \S3.2)''位置不对，应在第五行开头。

\textbf{P236}, 最上面的公式，``$p\geqslant 3$'' 这个乘积指标应为``$p$'', 即乘积指标遍历所有(正)素数。

\textbf{P237}, 练习4, ``$m\geqslant 4$''这个条件可去。

\textbf{P237}, 练习6(2), ``$\sigma>0$'' 应为 ``$\sigma>1$''. 

\end{document}
